Projektion

Projektion

Projektion der Ebenen und Linien, ist die Methode, durch senkrecht fallende Linien solche Ebenen und Linien, die schief gegen eine Horizontalebene liegen, auf die letztere zu versetzen, und wird vorzüglich in der Situationszeichnung angewendet. Nimmt man an, dass die schiefe Fläche CDEF Fig. 228 die Horizontalfläche JGHK in CD schneidet, und die Linien EC und DF Grenzlinien, und zwar parallel mit der Linie lm sind, welche entsteht, wenn eine Vertikalebene die Ebene CDEF rechtwinklig durchschneidet, so bestimmen diese Linien sämtlich die Neigung der schiefen Fläche, und heißen deshalb Neigungslinien. Denk man sich nun das Auge •αabc und d etc. über die verschiedenen Punkte einer solchen Linie, z. B. DF erhaben, so zeigt sich demselben zwischen zwei solchen Punkten nie die wahre Länge De, ef, etc., sondern nur die Länge ke, lf, etc. und diese heißen daher Horizontallängen oder Entfernungen; denn verlängert man die Lichtstrahlen bis auf die Horizontalflächen nach g, h, i, etc., so wird offenbar ke = Dg, lf = gh, und lf = hi sein, und die Verlängerungen eg, hf, etc. werden den Abstand der Punkte e, f, etc., über der Horizontalebene senkrecht genommen, oder ihre vertikalen Entfernungen oder Höhen bestimmen. Da aber eine jede Ebene aus einer unendlichen Menge solcher dicht neben einander liegenden Neigungslinien, welche stets rechtwinklig auf der Durchschnittslinie CD stehen, besteht, so gelten diese Schlüsse auch für jeden Punkt der Ebene CDEF, und es hat also ein jeder derselben seine eigene Neigungs- und Horizontallinie, die ebenfalls rechtwinklig auf CD ist, und sie in demselben Punkt schneidet, in der es von der Neigungslinie lm geschieht, so wie er seine wahre Horizontal- und Vertikalentfernung hat.

Böschungswinkel

Derjenige Winkel, welchen Fig. 229 LM bei M mit der zugehörigen Horizontallinie MN macht, hier LMN, wird der Böschungswinkel der Ebene CDEF genannt, und lässt man von den Grenzpunkten der Ebene, E und F, Perpendikulären auf die ihren Neigungslinien EC und FD zukommenden Horizontallinien fallen, so ergibt sich die ganze Fläche CDEF auf der Horizontalen JGHK, durch die Fläche CDOP dargestellt; diese nennt man die projizierte Fläche.

Projektion eines Halbkreises auf seinen Durchmesser

Auf gleiche Weise kann man alle Arten von krummen Linien, sowohl konvexe als konkave projizieren. In Fig. 236 ist ein Halbkreis nach dieser Art auf seinen Durchmesser AB projiziert, und man sagt dann, es sei derselbe orthographisch projiziert. Dass die horizontalen Bogenlängen für jeden Grad des Quadranten sich immer mehr von der wahren Bogenlänge entfernen, je mehr sie vom Mittelpunkt C abstehen, ist leicht einzusehen, und es bestimmen zugleich für jeden Bogen, von Cx angerechnet, die zugehörigen Sinus z. B. rn = KC, die horizontalen Entfernungen der Punkte auf dem Durchmesser. Es erhellt also, dass diese Projektionsart nicht für große Teile einer Kugelfläche anwendbar ist, und bei der Zeichnung von Karten nicht mit Vorteil gebraucht werden kann.

Im Allgemeinen gibt es sechs Arten von Projektionen.

1) Die schon beschriebene orthographische Projektion, welche bei der Situationszeichnung angewendet wird.

Zentralprojektion

2) Die Zentralprojektion, wobei man sich mit dem Auge in dem Mittelpunkt der Erde C denkt, Fig. 237. Wenn man an dem Ende eines Halbmessers AC in A die Tangente kn zieht, so ergeben sich auf derselben alle Bogenlängen KJ, JH, HG etc., durch die Längen ki, ih, hg etc., sobald man die Radien bis an die Tangente verlängert. Da indessen diese Längen um so mehr zunehmen, je mehr sie sich von dem Berührungspunkte A entfernen, so kann man den Bogen, welcher projiziert werden soll, nie größer als zu 60 Grad annehmen, weil sonst das Zunehmen der Längen zu unverhältnismäßig steigen, und mithin die projizierte Ebene zu bedeutend von der wahren Kugelfläche abweichen würde.

Stereographische Projektion

3) Die Stereographische Projektion ist unstreitig die beste von den bis jetzt genannten, daher auch die meisten Karten nach dieser Art entworfen werden, weil hier die projizierte Entfernungen nicht so bedeutend von den wahren Bogenlängen abweichen. Soll nämlich, z. B., der Halbkreis BCA, oder der Abschnitt LCP Fig. 230 projiziert werden, so fälle man vom Mittelpunkt C des Bogens den Durchmesser CN und errichte für BCA aus A oder B eine Perpendikuläre auf CN, so wird diese die Projektionslinie oder Ebene geben. Zieht man nun von allen Punkten der krummen Fläche oder Linie, gerade Linien nach dem Punkt N, so schneiden diese die Projektionslinie AB in d, e, l, f, h, p, etc., und bestimmen dadurch die verlangten Punkte auf derselben. Die Entfernungen dieser nehmen vom Mittelpunkt c nach dem Rande des Kreises zu, und zwar so, wie die Tangenten der halben Bogen, welche von C an gerechnet denselben zugehören.

Die orthographische und Zentralprojektion heißen Polarprojektion, wenn der Mittelpunkt der dargestellten Kugelfläche einer der beiden Pole ist, und die stereographische wird eben so genannt, wenn in Fig. 230 C ebenfalls einer der beiden Pole, und AB die Ebene des Äquators ist. Ist aber C, oder überhaupt der Mittelpunkt der Kugelfläche, ein Punkt des Äquators, so nennt man die drei vorgenannten Projektionen Äquatorialprojektionen und es ist in diesem Fall AB die Erdachse. Liegt endlich der Punkt C zwischen einem Pol und dem Äquator, so dass die scheinbare Horizontale, oder eine mit ihr parallel liegende Ebene, Projektionsebene wird, so nennt man sie horizontale oder schiefe Projektion.

4) Die vierte Art ist die Lambertsche Projektion, wo die Grade auf der Projektionsebene, wie die Sinus ihrer halben Winkel abnehmen, und man bestimmt vermittelst dieser Regel, und des Unterschieds der Länge und Breite, den Winkel und den Abstand, unter dem sich die Meridiane und Parallelkreise von 10 zu 10 Grad, vom Mittelpunkt angerechnet, durchschneiden. Durch diese Punkte werden dann die Linien aus freier Hand sanft gebogen gezogen, und äußern an den Rändern der Karte nicht die Fehler der vor angeführten Projektionen, d. h. sie sind weder zu sehr zusammengedrängt, noch zu sehr ausgedehnt. Zugleich ist die gebogene Form der Linien, der Kugeloberfläche angemessener, und gewährt einen richtigeren Abstand.

Konische Projektion

5) Die konische Projektion, Fig. 283, bei der man sich über die Kugelfläche acb einen Kegel mno gelegt denkt, und Gegenstände des Bogens da auf dm, dc auf dn usw. verzeichnet, wie sie sich dort abbilden. Hier werden zwar die Parallelkreise nach n, m, und o zu, so wie die Meridiane nach der Grundlinie des Kegels zu, etwas erweitert werden, aber der entstehende Fehler ist doch nicht so bedeutend als bei der zweiten Projektionsart.

Mercator-Projektion

6) Die Mercator-Projektion, von dem Engländer Wright erfunden, aber nach dem Namen desjenigen, der uns zuerst mit ihrem Gebrauch bekannt machte, so benannt, wird vorzüglich bei Anfertigung der Seekarten gebraucht, welche dann reduzierte oder wachsende Breitenkarten heißen. Ihre Eigenheit besteht darin, dass man vermöge der Trigonometrie die Breitengrade in eben dem Verhältnis, gegen die Pole zu, zunehmen lässt, in denen die Grade der Länge in jedem Parallelkreise dahin abnehmen, und jenes nach den Sekanten der Breitengrade, dieses aber nach dem Cosinus derselben vornimmt; denn die Sekanten eines Kreises verhalten sich umgekehrt wie ihre Cosinus, d. h. wenn z. B. der Cosinus von 60 Grad = ½ des Radius ist, so wird die Sekante von 60 Grad gleich dem doppelten Radius sein. – Durch die vergrößerten Längengrade werden sie in allen Parallelkreisen gleich groß, und diese, sowohl als die Meridiane, unter sich parallel. Beide Linien durchschneiden sich rechtwinklig, Fig. 284, und die Loxodromische Linie, (welche entsteht, wenn ein Schiffer vom Äquator, nach einerlei Richtung, auf einen der Pole zufährt) die in den übrigen Projektionsarten als eine spiralförmige Linie, abcn Fig. 235, erscheint, wird jetzt eine gerade Linie, an Fig. 284. Die Eigenschaft, welche diese Linie jetzt besitzt, dass sie nämlich alle Linien in gleichen Winkeln durchschneidet, erleichtert den Seefahrern das Steuern und Nehmen des Windes ungemein, dahingegen die Verzerrung der Länder, gegen die Pole zu, bedeutend ist; dessen ungeachtet findet aber noch das richtige Verhältnis der Größe gegen die ihrer Breite zugehörigen Meridiangrade statt, wenn sie mit den übrigen Projektionsarten verglichen werden.

Loxodromische Linie

Glossar militärischer Begriffe